要检查Chrome浏览器插件的运行状态与进程，可以使用以下方法：
1. 使用开发者工具（Console）查看插件的运行状态。在Chrome浏览器中，按F12打开开发者工具，然后点击“Console”选项卡。在控制台窗口中，输入`chrome.runtime.getBackgroundPages()`，然后按回车键。这将显示当前正在运行的所有背景页面及其相关信息。
2. 使用`chrome.management.pages` API获取插件的进程信息。首先，需要创建一个名为`manage_page`的脚本文件，然后在其中编写以下代码：
javascript
chrome.management.pages.get(function(pages) {
var plugin = pages.find({ name: 'your-plugin-name' });
if (plugin) {
console.log('插件名称: ' + plugin.name);
console.log('插件版本: ' + plugin.version);
console.log('插件描述: ' + plugin.description);
console.log('插件状态: ' + plugin.status);
console.log('插件进程ID: ' + plugin.processId);
} else {
console.log('未找到插件');
}
}, function(err) {
console.error('获取插件信息失败: ' + err);
});

将`your-plugin-name`替换为实际的插件名称。然后，在Chrome浏览器的扩展程序管理页面（chrome://extensions/）中，点击“加载已解压的扩展程序”，找到并加载`manage_page`脚本文件。现在，可以通过开发者工具的Console窗口查看插件的运行状态和进程信息。